求使得9^x+3^x+1能被13整除的所有正整数x

用数学归纳法解很容易.
x=1时,9+3+1=13能被13整除.
假设当x=k时(k为自然数,且k不小于1),(3^k)^2+3^k+1=13n,再令x=k+m时,也能被13整除,下面来求m.
[3^(k+m)]^2+3^(k+m)+1
=(3^k)^2(3^m)^2+3^m*3^k+1
=(3^k)^2(3^m)^2+[13n-(3^k)^2-1]*3^m+1
=(3^k)^2(3^m)^2+3^m*n*13-3^m*(3^k)^2-3^m+1
=13n*3^m+(3^k)^2(3^m)(3^m-1)
只要3^m-1能被13整除,就可以.
m=3时,3^m-1=27-1=26=2*13,能被13整除.
再考察m=1,m=2时,3^m-1都不能被13整除.
综上,仅当x=1+3n(n为任意自然数)时,9^x+3^x+1都能被13整除.